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第72章 数学省赛（第4页）

题干设三角形Abc三边长为a，b，c，有不等式

∑（b-c）2≥13∑b＋ca（b-c）2，试证不等式1中的系数13是最优的。

这题需要将系数13一般化，设为k然后证明k的取值范围≤13就可。

这题在第一题难度相对不大。

第二题求一切实数p，使得三次方程5x3-5（p+1）x2+（71p-1）x+1u003d66p

这题难度也不太离谱，假设法设未知数，最后求得vu003d17或59，uu003d59或17，pu003du+vu003d76，即当且仅当pu003d76时，方程三根均是正整数：1，17，59

从第三题就有点不好搞了，这是一道数列题。

设au003d1，a2u003d2.anu003d2an-1+an-2，nu003d3，4，...。

证明：对整数n≥5，an必有一个模4余1的素因子。

这题张尧花了不少时间，数学归纳法在这题上用的出神入化，另外还用到了费马小定理和分类讨论的思想。

求解过程相当复杂，就这一道题把张尧前两题积累的时间全用完了。

最后一题是考的是染色问题，染色问题属于杂题，但在猜想中与其相关的不少。

题干为能否把1，1，2，2，3，3，...，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，...，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论

证明将1986x2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个。

证明将1986x2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个

现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点．于是993个偶数，占据白点A，u003d993个，黑色b，u003d993个．

993个奇数，占据白点A，u003d2a个，黑点bgu003d2b个，其中a+bu003d993.因此，共占白色Au003dA，+A，u003d993+2a个．

黑点bu003db，+b，u003d993+2b个，

由于a+bu003d993（非偶数！

）a≠b，从而得A≠b．这与黑、白点各有1986个矛盾．故这种排法不可能．

这题其实比上一题要来的简单，不过染色问题很少做最后一题考，一下子遇到还是有点难办！

这张试卷写完后，张尧感觉这次数学竞赛的难度不是很大，不比往年要难。

只能说差不多罢了。

也不怪张尧这样想，他参加的竞赛太多了，有时他都默认省赛题会比初赛难很多的设定了。

但其实也不尽然，有些地方的初赛试题不比联赛来的容易。

写完后大概还剩三十分钟的时间。

张尧把真张试卷都检查了一下，尤其检查是不是有笔误，数学试题的解答过程很长，如果出现这种错误，对评分影响很大。

检查完毕后张尧又对其中一些题目用其他方法尝试，最好用的莫过于反证法。

一般结论是错误的题目用反证法更容易一点。

但张尧没把最后的结果写上，这只是他的一种尝试而已，并不完全正确。

所以放在试卷上可能会出现狗尾续貂的问题。